数学与计算金融

1.学生背景：大陆本科 Top 2 数学专业 Ranking 20% 无实习 面试时间：2017年12月16号

【申请专业：数学与计算金融 MSF Mathematical and Computational Finance】Jeff Dewynne及一位PhD学生

1.     Prof

Q：我们手头上是你的Transcript。你能不能介绍一下你前几年修过的课？(这里教授其实说了好几句话 其实没完全听清= = 但愿回答了他的问题) 以及你这一年在做什么？

A：如实回答。前几年学了一点基础的分析啊，代数啊，基础的概率论啊随机过程啊随机分析啊。还有一些fundamental的统计啊。这一年的话在学随机模拟（我和他讲Metropolis算法，似乎没表达清楚，他说sorry我没听说过。吓得我赶紧补充说好吧就是Markov Chain MonteCarlo然后似乎教授听明白了。），在学风险理论，VaR啊Expectedshortfall这些。以及，在学Statistical computing。教授问还有吗。我想了一下说，还有statistical learning，学了点binary classification，machine learning之类的，挺难的。然后我傻笑。

不知道为什么问这个。也许是想check一下成绩单。

2.     PhD

Q：什么是随机变量？

A：一个从样本空间Ω到R的映射。更具体的，如果是指可测（measurable）随机变量的话，是需要对一个Borel set 原像在随机变量所在的σ代数中。（此处我口误了说成了filtration，PhD小哥询问我是不是把σ代数讲成了filtration。然后我说Sorry我口误了。不过，学过一点点随机过程的小伙伴应该知道，问题不大。）

3.     Prof

Q：如何判断一个随机变量可测不可测？

A：（感觉是Prof没听明白我上面说的后半部分。。于是我又重复了一下，Borel集的原像在σ代数里面就可以。自己没用原像那个专属名词= = 这会儿记不清自己当时怎么说的了但愿自己说的让对方明白了）

4.     PhD

Q：嗯你提到了σ代数。能说一下它的性质吗？

A：1. A在里面，AC就在里面（==想了一下补集怎么讲，最后直接说AC在里面了 看PhD小哥点了点头确认没问题）2. 全集在里面 3. Countable Additive。

5.     PhD

Q：你提到了Borel，那，如何生成Borel σ代数？

A：用open set生成就可以。嫌麻烦的话，可以用interval from minus infinity to a ，即(-∞，a)来generate之。

两个考官稍微交流了一下，觉得我说的是对的，然后PhD小哥开始继续提问。

6.     PhD

Q：那接下来可以和我们说一说函数列的收敛吗？

A：说了四个：a.s., in prob, in Lp,in distribution。

（Remark 1： 各类面经上大家回答的基本就是上面4个外加一个uniform convergence。讲真，如果学过一点泛函的话，可以把HilbertSpace上的Inner product weak convergence也加上。应该能给面试官留下印象的。不过我是最后想了想没说，万一跑偏问到泛函里面的那些东西，我就真的可能不记得了。不过准备了但是没说还是稍微有一点点后悔…）

（Remark 2：结合面经+自己的经历+复旦的学姐的消息，看来此题是必问。如果大家拿到面试的话一定要准备。）

7.     PhD

Q：那你可以说一下各个Convergence它们之间的关系吗？

A：嗯第一反应的话，用Markov inequality，Lp蕴含in prob. 考官点头。然后我就开始脑残了。不知道咋想的我说a.s.和in prob互相不imply……简直蠢哭。然后考官说不对哦。我说好吧，a.s.蕴含in prob。

（Remark 3： 感觉面试官此时开始想给我提示。又是在纸上写又是和我说了好多什么。弄得我很?，不知道想让我干什么= =

我还问他，我有点confused，what am I supposedto do? 最后Prof举起一张纸说，依分布收敛最弱，(。・・)ノ，不考虑它，剩下三个里面，有两个是推不出来的，是哪两个？我问是让我给出counterexample吗？他又说了点什么，然后问我Lp和in prob互相不imply吗？合着还是刚才我就没表达明白。我把Markov inequality 又说了一遍，然后他点头，问我另一个方向推得出来吗？

我心想算了算了口语表达不明白，闷头在纸上写了两个例子，一个是L1推不出a.s.，另一个是a.s.推不出L1，两边互相推不出。）

写完把纸凑到镜头前，给他们看写的反例。他们凑上来看了一眼，也不知道是不是真的看清楚了23333 不记得他们有没有点头或者表示Good之类的…两个面试官互相嘀咕了一下然后就下一题了。不过自己的反例肯定是对的。前一天晚上睡前准备的时候自己看着实变函数教材造的。

（Remark 4：现在终于意识到是想让我在这4个convergence的概念里找一组pair，这两个互相推不出。可惜当时愣了好久没听清问题/没反应过来。心塞= =）

8.     PhD

Q：Generally你对这些收敛性有什么感觉吗？

A：？？？Pardon？

Q：重复了一下问题。

A：哦好吧，converge in distribution 在CLT里面用啊，in prob和a.s.在大数律里面用，一个是弱大数律另一个是强大数律。

9.     Q：嗯可不可以叙述一下CLT和大数律？

A：叙述之。

10.  Prof

Q：CLT的条件是啥？有没有CLT不成立但是大数律成立的例子？

A：CLT的条件是mean得存在啊，Variance得存在啊，序列iid啊（没想着说林德伯格-费勒条件或者其他什么李雅普诺夫条件之类的= =）。

大数律只要mean存在就可以了。所以我得找一个mean存在，Var不存在的随机变量咯？嗯…柯西分布？

Q：Well 但是柯西分布mean也不存在啊。

（然后不知道为啥 没让我继续找反例，就下一题了= = 心塞塞 我刚想说，那就找个属于L1但是不属于L2空间的呗，归一化一下做成一个分布就行了…）

11.  PhD

Q：你刚刚说的大数律是in prob或者a.s.收敛，但是CLT是indistribution，这不矛盾吗？

A：Sorry（不知道自己刚才是不是说CLT或者大数律的时候又口误了= =），两者的Scale不一样啊，大数律的scale是1/n，但是CLT的scale是one over root n。